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2018夏セミ整数④

  • 細川洋一
  • 2018/08/05 (Sun) 21:13:16
こんばんは

2002年東大の(2)ですが、正解は「ひょっとして、パクった!?」のプリントで勉強させて頂きましたが、以下のような証明でもいいでしょうか?

a_n+1 = a_n + b_n
b_n+1 = a_n

はn>=2として

a_n = a_n-1 + b_n-1
b_n = a_n-1

ここでn=kのとき a_k, b_kが互いに素でないと仮定すると
共通する素因数pをもち

a_k = pα, b_k = pβ

これより

a_k-1 = pβ, b_k-1 = p(α-β)

となりa_k-1, b_k-1も互いに素でない。これを繰り返すと

a_2=a_1+b_1=2,b_2=a_1=1も互いに素ではないことになるが
、これは矛盾。よってn>=2のとき、a_n,b_nは互いに素

またn=1のときa_1=1, b_1=1であり、互いに素

「ともに正の整数」であることの証明に使うことは無理だと思いますが、如何でしょうか?






夏セミナー高3整数問題(1)

  • 細川洋一
  • 2018/08/03 (Fri) 22:59:08
お暑うございます。お元気ですか?

夏セミナー(高3)、毎晩楽しく格闘しております!いい問題揃いだと思います

ネットに解答が出ている問題もあり、あれこれ見比べるのも楽しみ(勉強)になっております

さて、いきなりで恐縮ですが、(1)の神戸薬科大の問題ですが、もし差し支えなければ、答えだけでも教えた頂けないでしょうか?自分の解き方でたぶんいいと思うのですが、全部教えて頂くわけにはいかないだろうと思いまして。

先生のご了解が頂ければ、m=  と、私の答えだけ掲示させて頂きたいのですが、宜しいでしょうか?




Re: 夏セミナー高3整数問題(1)

  • 細川洋一
  • 2018/08/04 (Sat) 09:06:46
ご多用のところ早速ご回答頂き、誠にありがとうございます!

m=-1、-3になりました!お蔭さまであってました!

「解の公式で解を求めて、ルートの中が平方数になるようにする」やり方の方で解きました。解と係数の関係はこれから考えてみます。「5つの原則」も、もう一度見てみます

まだ5問しか解いていない(それもネットをちらちら見ながら)ですが、どの問題も、整数に関する一連の犬プリを応用すれば何とかなりそうな気がしてきました。

犬プリと同じ問題は復習になり、犬プリ整数の演習問題として
とてもやりがいがあります。素晴らしいプリントありがとうございます

まだまだ暑い日が続くようですが、どうかご自愛ください

Re: 夏セミナー高3整数問題(1)

  • 管理人
  • 2018/08/04 (Sat) 08:30:58
書き込みありがとうございます。

整数問題の講習は先日終了しましたが、生徒さんはけっこう苦しんでいたようでした。面白い分野なんですが、やっぱりある程度やり込んでいないと難しいようです。


1番と2番、3番と4番、5番と6番・・・が同じような問題のペアになっているように並べたので、奇数番目を解説し、偶数番目は各自の勉強課題としました。どちらかといえば偶数番目の方が難しめなので、奇数番目取り組まれるのがよろしいかと思います。


1番の答えはm=-3,-1です。
この問題とほぼ同じ問題が、「整数問題の5つの原則」のプリントに載せてあるのでまたご覧ください。手法としては、解と係数の関係を利用するか、解の公式で解を求めて、ルートの中が平方数になるようにする、かのいずれかですね。


がんばってください。

数列の和

  • 達也
  • 2018/08/01 (Wed) 21:17:54
いつも犬プリを見させてもらっていて、このサイトには大変助けていただいています。

物凄く基本的な質問なのですが、数列の和を求めるときに腑に落ちないことがあります。

Σ1/n(n+2) の解答で部分分数に分解して求めることは十分理解できるのですが、解答で最低でも4つの項がでてきて処理している関係上、nが4以上という条件が必要ではないのかという疑問が生じます。

 確かに結果的にはn=1のときでも、相殺され問題はないのですが、しっくりきません。
チャートやゴールドの解説もn=1やn=2のときについて解答中で検証をしていません。

 学校ではそういうものだと割り切れというだけで、他の部分ついては針でつつくほど細かいんです。

 スッキリするようなアドバイスをお願いします。

Re: 数列の和

  • 達也
  • 2018/08/03 (Fri) 06:09:54
ありがとうございました。

Re: 数列の和

  • 管理人
  • 2018/08/02 (Thu) 14:32:50
書き込みありがとうございます。

おっしゃるとおり、腑に落ちない気持ちよく分かりますし、
学校の言う「そういうものだ」という良い訳(?)も理解できます。
お尋ねの、∑1/n(n+2)についてはnが4以上ではなく、あえて言うならnが2以上だと思います。


例えば、∑kの場合、

∑_{k=1}^{n}k=1+2+3+・・・+n

などと書いたりすると思いますが、この表記も怪しいことになります。つまり「この表記はnは3より大きい場合だけに通用する。nが3より大きいかどうか分からないのに、このように表記するのはおかしい。項が4つも書いてあるじゃないか」と。でも、そんなこといちいち気にしませんよね。


∑_{k=1}^{1}k=1

∑_{k=1}^{2}k=1+2

∑_{k=1}^{3}k=1+2+3

・・・ですので、以下同様の作業を繰り返して

∑_{k=1}^{n}k=1+2+3+・・・+n (※)

と表記する(だけのこと)であって、いちいち「この表記方法は、nが4以上の表記方法であり、n=1,2,3の表記方法は別に定める」なんてことは言わないでしょう。(※)はn=1,2,3のときの表記も兼ねている、と考えるのが普通です。

ですから、今回の問題の場合、

∑_{k=1}^{1}1/k(k+2)=1/2(1/1-1/3)

∑_{k=1}^{2}1/k(k+2)=1/2(1/1-1/3)+1/2(1/2-1/4)

∑_{k=1}^{3}1/k(k+2)=1/2(1/1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)

・・・

∑_{k=1}^{3}1/k(k+2)=1/2(1/1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+・・・+1/2(1/(n-1)-1/(n+1))+1/2(1/n-1/(n+2))

この式は全てのnで成立する、と考えるのが普通でしょう。

だから、特に場合分けせずに、サラッと書いているのだと思います。

なお、あえて場合分けするなら、この式はnが2以上で成立すると考えて、n=1の場合の確認をするべきでしょう。

最後に。他の部分は細かいのに、ここだけ細かくないのは納得がいかないようですが、少し意味が違います。数列分野における場合分けの典型例である「階差数列の一般項を求める問題」「Snからanを求める問題」とは全く分けが違います。これらは、場合分けをする数学的な必然があります。今回の場合は、私は「単なる表記上の問題」だと思っています。

こんな回答でスッキリしていただけますでしょうか???








まず、∑1/n(n+2)の場合、nが4以上ではなく、2以上という条件が

無題

  • イズミル
  • 2018/07/22 (Sun) 17:25:27
部分積分についての例題1の(5)の答えが違う気がします

ミスプリでしょうか?

  • イズミル
  • 2018/07/22 (Sun) 16:37:12
スペシャル定積分の4ページ目の右下の例題の平方完成が間違ってると思います。

無題

  • はな
  • 2018/06/23 (Sat) 20:22:04
いつも犬プリに助けられています。ありがとうございます。

微分のココロの犬プリに関する質問なのですが、最初の方に、「曲線上にただ 1点のみで接する直線を引くことなど現実問題として不可能」という言葉があるのですが、それがなぜかよくわからないです。例えば二次関数とかだと、頂点にただ一点で接する直線=接線が引くことができ、他の関数でも、ただ一点で接する直線は引けるのではと思ってしまいました。これは、接線は引けるけれど直接求められないということを意味しているのでしょうか?
小さな疑問ですがふと気になりました。
ご回答いただけると幸いです。

Re: Re: 無題

  • はな
  • 2018/06/24 (Sun) 07:43:43
なるほど!
理解できました。実際にはただ一点では接していないけれどそれを接線と定義した、ということなのですね。
では、ただ一点で接する直線と本当に言えるのは
例えば四角形の頂点に直線を引く場合などですか?

Re: 無題

  • 管理人
  • 2018/06/23 (Sat) 22:05:04
書き込みありがとうございます。

そうですね、文面だけだと分かりにくいですね。授業ではちゃんと説明してるんですが・・・・

現実的な話をしているのです。ノートに2次関数の絵を描いて接線を引いてみてください。あなたの引いた直線は本当に接線ですか?「1点だけで接する直線」になっていますか? あなたの描いた図の直線には太さがあるし、点にも大きさがあります。ベチャッと接していませんか?どんなに尖ったペンで書いてもべちゃっと接してしまいますよ。1点だけで接する直線をかけますか?教科書や参考書で、2次関数や円に接している直線の絵が書いてありますが、あれって、1点だけで接していますか? ベチャっとひっついていませんか?

つまり「1点だけで接する」直線をちゃんと描くことは現実的には無理だといっているのです。

もちろん、理論的にはちゃんと存在します。でないと、問題が解けません。

おわかりいただけますか?

やり直したいです

  • マーさん
  • 2018/05/29 (Tue) 19:51:49
すみません、高校二年のものです。
現在学校では微積をやっていますが、今までの履修範囲に穴があいていて模試などでいい成績が取れないです。
数学ⅠA、Ⅱの復習をしたいと思うのですが、4stepで行うのは大丈夫でしょうか。違う問題集が良いでしょか?

Re: ありがとうございます

  • マーさん
  • 2018/06/17 (Sun) 23:26:09
返信ありがとうございます。

自分は理系です。進研模試では数学の偏差値が68前後です。
基本的な問題はできます。大問(1)〜(2)ぐらいはきちんとできます。ただ、教科書レベルの問題を解けないときがたまにあります。

青チャートは初見では解くことができませんが、解説は理解できます。ただ、青チャートは分厚くて自分には使いこなせなかったです

塾や通信教育はやっていません。東大理一、旧帝大医学部を志望しています。

Re: やり直したいです

  • 管理人
  • 2018/06/02 (Sat) 15:31:04
書き込みありがとうございます。

自分自身の弱点に気づいて「やり直したい」と思ったときが勉強の始まりです。

まず、あなたが理系なのか文系なのか、いい成績が取れないとのことだがどの程度に取れているのか、塾に行っているのかいないのか、4STEPの模範解答を持っているのかいないのか、最終的な志望大学はどこなのか、などの情報がないので一般的なアドバイスしかできませんが、ご容赦ください。

4STEPを復習に利用するのは問題ありません。大いに結構です。でも4STEPはあくまでも基本技術の練習用であり、応用問題となると話は別です。あなたが基本的なことは分かっているのに応用問題が解けない、というレベルなら4STEPは必要ないでしょう。でも、基本ができてない(例えば模試の大問の(1)から解けない)場合は、4STEPを繰り返して解いて定着させるしかありませんね。

頑張ってください。

「落とし所」をはっきりさせる、目からウロコ!

  • 細川洋一
  • 2018/05/26 (Sat) 13:57:36
お元気ですか?

質問ではありませんので、ご一瞥頂くだけで幸いです

お蔭さまで問題演習楽しんでおります

前回教えていただいた、「数学において矛盾を示す場合」には、
ただ闇雲にいじる前に、予め、矛盾を生じそうな点に見当をつけながら、「『落とし所』をハッキリさせて、そこに落としていく」とのアドバイス、改めて「目からウロコ」の思いを強くしております

「矛盾が生じそうな点」といっても、私たちの思いつくことといえば限りがありますから、その点を意識して方針を絞っていくのと、単なる暗中模索とでは大違いであることを痛感しております。社会人としての「仕事の段取りの重要性」に大いに通じるところがあり、大変参考になりました

見通しが開ける快感とでも申しましょうか、楽しんでおります。と同時に、ありきたりですが、高校時代にもっとやっておけば・・・とも思っております^^:

これからも宜しくお願いします

確率の問題

  • マスマティ
  • 2018/05/17 (Thu) 11:15:16
犬プリのサイトの
確率の原則というページが開かないのですがまだよういされていないということですか?
確率の単元がどうしても理解できません。センターレベルの問題は解けるのですが、京大、東大の確率の問題になると何を考えたら良いのかがわからなくなります。

Re: 確率の問題

  • 管理人
  • 2018/05/18 (Fri) 13:01:59
書き込みありがとうございます。

確率のプリントは全然更新できておらず、申し訳ありません。
いつ出来るかは目処がたっていないので今のところ何ともいえません。すみません。

標準的な問題は解けるが、応用となると厳しい、という人にお勧めの本として「細野真宏の確率が本当によくわかる本」(小学館)があります。一度、書店で探してみてください。

一橋2013年の整数問題

  • 細川洋一
  • 2018/05/02 (Wed) 18:37:46
ご無沙汰しております

1 つの角が120°の三角形がある.この三角形の3 辺の長さx,y,z はx < y < z を満たす整数で
ある.
(1) x + y - z = 2 を満たす整数x,y,z の組をすべて求めよ.
(2) x + y - z = 3 を満たす整数x,y,z の組をすべて求めよ.
(3) a,b を0 以上の整数とする.x + y − z = 2^a・3^b を満たす整数x,y,z の組の個数をa とb の式で表せ.(一橋2013前期)の問題で(3)について質問させてください.
余弦定理を用いて{x-2^(a+1)・3^b}{y-2^(a+1)・3^b}
=2^2a・3^(2b+1)に辿りついたのですが、x-2^(a+1)・3^b>0、
y-2^(a+1)・3^b>0を示すときに、ネット上の模範解答等では
x<y<x+y-zより
x<y<x+y-2^a・3^bであるから
2^a・3^b<x<y よって
-2^a・3^b<x-2^(a+1)・3^b<y-2^(a+1)・3^b
ここでx-2^(a+1)・3^b<y-2^(a+1)・3^b<0とすると
{x-2^(a+1)・3^b}{y-2^(a+1)・3^b}<2^2a・3^2b<2^2a・3^(2b+1)
となり条件を満たすx,yは存在しない
となっていました。
式変形そのものは理解できるのですが、不勉強なせいか直観的にこの示し方を思いつくことができません。こういう示し方はどこから導けばいいのでしょうか?何かもとになる原理とかアイデア
があるのでしょうか?



Re: 一橋2013年の整数問題

  • 細川洋一
  • 2018/05/07 (Mon) 00:18:12
お忙しいところ本当にありがとうございます

いや、誠にスッキリいたしました。おかげさまで

x-2N>0、y-2N>0であることを示すのに、

x-2N<0と仮定すると当然y-2N<0となるけれど、このとき①~④を同時にみたすx,yは存在しない

ということを言えば良いのであり、それには

②、③、④の不等式をみたすx,yは、①の等式をみたさない

ことを示せばいい、という自然な流れがはっきりとしました。

参考書、問題集、ネットを問わず、たまに、何の脈絡もなく始まって「以上終わり」みたいな、一見簡潔だけど普通の発想の流れからは理解不能な「模範解答」に頭を抱えてしまうことがあります

連休中ずっと仕事だったのですが、最後の最後で胸のつかえがとれる素敵なプレゼントを頂きました!ありがとうございました!

Re: 一橋2013年の整数問題

  • 管理人
  • 2018/05/06 (Sun) 17:11:38
書き込みありがとうございます。


う~ん、分かりにくい模範解答ですね。次のように考えればすっきりすると思います。

まず、2^a×3^b=Nとおくと、

(x-2N)(y-2N)=3N^2・・・①

ここで、x-2N<0と仮定すると、y-2N<0なので

0<x<2N・・・②

0<y<2N・・・③

z=x+y-Nだから

x<y<x+y-N・・・④

つまり、①~④を同時にみたすx,yが存在しないことを言えば良いのです。

数学において矛盾を示す場合(特に背理法が顕著ですが)、「何に矛盾するのか」を見定めながら証明する必要があります。テキトーに式をいじくって「あっ、矛盾した」ではないのです。つまり最初から「落とし所」をハッキリさせて、そこに落としていくわけです。背理法による「√2が無理数であること」の証明を思い出してください。有理数と仮定して、√2=q/pと置き、「pとqが互いに素」という条件に矛盾することを示したはずです。


今回の場合、「①かつ②かつ③かつ④」が矛盾することを示すのですが、①が等式、②③④が不等式ですから、まあ「②③④を同時に満たすx,yは、①を満たさない」と考えるのがフツーでしょう。実際、②③④を同時に満たすx,yは、不等式をいじくると、

N<x<2N 、 N<y<2N

になるようですので、

-N<x-2N<0

-N<y-2N<0

つまり、0<(x-2N)(y-2N)<N^2

となり、①に矛盾します。これで、おしまいです。